KI löst das schwierige inverse PDE-Problem der Mathematik – Mollifier Layers von Penn

**KI entschlüsselt ein hartes mathematisches Rätsel der Wissenschaft** Kann man, wenn man die Wellen in einem Teich beobachtet, herausfinden, wo ein Kieselstein ins Wasser gefallen ist? In der Wissenschaft ist genau das ein inverses Problem. Die Wirkung ist sichtbar, die Ursache bleibt verborgen. Um solche inversen Probleme zu lösen, haben Forschende der University of Pennsylvania eine neue KI-Methode entwickelt. Ihr Name: Mollifier Layers. Die Studie, veröffentlicht am 6. Mai 2026, erschien in *Transactions on Machine Learning Research* (TMLR) und soll auf der NeurIPS 2026 vorgestellt werden. • Leitung: Vivek Shenoy, Materials Science and Engineering, Penn • Team: Vinayak Vinayak, Ananyae Kumar Bhartari **Was bedeutet inverse PDE?** Differentialgleichungen sind mathematische Werkzeuge, die beschreiben, wie sich ein System verändert. Wärmeausbreitung, Bevölkerungswachstum, chemische Reaktionen – alles. Partielle Differentialgleichungen (PDE) gehen noch einen Schritt weiter. Sie erfassen, wie sich ein System sowohl im Raum als auch in der Zeit verändert. Von Wetter über Materialwissenschaft bis zur DNA-Organisation – überall kommen PDEs vor. Inverse PDE dreht das um. Statt aus bekannten Regeln die Wirkung vorherzusagen, beginnt man mit der beobachteten Wirkung und rekonstruiert die dahinter verborgenen Regeln. Genau das ist schwierig. Und genau das ist in der Wissenschaft besonders dringend nötig. **Wo lag das Problem?** KI hat diese Ableitungen bislang mittels rekursiver automatischer Differenzierung berechnet. Das heißt: Während Daten durch ein neuronales Netz laufen, werden Änderungen immer wieder neu berechnet. Bei komplexen, verrauschten Daten wird das instabil. Es ist wie bei einer groben Linie, in die man immer weiter hineinzoomt – jeder Schritt vergrößert den Fehler. Auch die Rechenkosten werden enorm. „Moderne KI kommt oft voran, indem sie einfach mehr Compute einsetzt. Aber einige wissenschaftliche Herausforderungen brauchen nicht mehr Compute, sondern bessere Mathematik“, sagt Vinayak Vinayak. **Die Lösung: Mollifier Layers** Die Lösung kam aus den „Mollifiers“, einem Werkzeug zum Glätten unregelmäßiger Funktionen, das der Mathematiker Kurt Otto Friedrichs in den 1940er-Jahren entwickelte. Das Penn-Team hat dies als „Mollifier Layer“ in das KI-Modell eingebaut. Bevor Änderungen berechnet werden, werden die Eingangsdaten zunächst geglättet. Das Ergebnis: weniger Rauschen, deutlich geringere Rechenkosten, stabilere Lösungen. „Wir dachten zuerst, die Netzwerkarchitektur sei das Problem. Erst später haben wir erkannt, dass der Engpass die rekursive automatische Differenzierung ist“, sagt Ananyae Kumar Bhartari. **Direkte Anwendung in der DNA** Die wichtigste Anwendung liegt in der Chromatinforschung. Chromatin ist die gefaltete Form der DNA im Zellkern. Es ist nur etwa 100 Nanometer groß. Doch es bestimmt, welche Gene aktiv sind. Also Zellidentität, Altern und Krankheit – alles. „Wir konnten Strukturen sehen, aber wir konnten die epigenetischen Prozesse, die sie antreiben, nicht zuverlässig erschließen. Es wurde klar, dass sich die Mathematik ändern muss“, sagt Shenoy. Mit der neuen KI-Methode lassen sich epigenetische Reaktionsraten abschätzen, die die Genaktivität steuern. Wenn man verfolgen kann, wie sich diese Raten beim Altern, bei Krebs oder während der Entwicklung verändern, könnte das den Weg zu neuen Therapien öffnen. „Wenn Reaktionsraten die Chromatinorganisation und das Zellschicksal steuern, kann man Zellen durch das Verändern dieser Raten in einen gewünschten Zustand zurückführen“, sagt Vinayak. **Über die Biologie hinaus** Die Anwendung endet nicht bei der Genetik. Materialforschung, Fluiddynamik, Wettervorhersage – in allen Bereichen mit verrauschten Daten und komplexen Gleichungen kann dieses Framework funktionieren. „Das Endziel ist, von der Beobachtung komplexer Muster dazu zu gelangen, die Regeln, die sie erzeugen, quantitativ offenzulegen. Wenn man die Regeln versteht, die ein System steuern, hat man die Möglichkeit, es zu verändern“, sagt Shenoy. --- Quelle: University of Pennsylvania School of Engineering and Applied Science. Shenoy V., Vinayak V., Bhartari A.K. „Mollifier Layers for Inverse PDEs“, *Transactions on Machine Learning Research*, Mai 2026. Soll auf der NeurIPS 2026 vorgestellt werden.