AI、数学の難解な逆PDE問題を解決――ペンシルベニア大学のモリファイア層

**AIが科学の難解な数学パズルを解き明かす** 池の波紋を見て、小石がどこに落ちたのかを突き止められるだろうか？ 科学ではこれが「逆問題（inverse problem）」だ。結果は見えているが、原因は隠れている。 こうした逆問題を解くために、ペンシルベニア大学の研究者らが新しいAI手法を開発した。名称は「Mollifier Layers」。 2026年5月6日に公表された本研究は、Transactions on Machine Learning Research（TMLR）に掲載され、NeurIPS 2026で発表予定である。 ・主導：Vivek Shenoy（ペンシルベニア大学 材料科学工学） ・チーム：Vinayak Vinayak、Ananyae Kumar Bhartari **Inverse PDEとは？** 微分方程式（differential equations）は、ある系がどのように変化するかを記述する数学的ツールである。熱の拡散、人口増加、化学反応など、あらゆる現象に関わる。 偏微分方程式（partial differential equations: PDE）はそれをさらに一段進め、空間と時間の両方にわたって系がどう変化するかを捉える。天気、材料科学、DNAの折りたたみ構造に至るまで、あらゆるところにPDEが存在する。 Inverse PDE（逆PDE）はこれを逆転させる。規則が分かっていて結果を予測するのではなく、観測された結果から出発し、その背後に隠れた規則を見つけ出す。これが難しい。だが同時に、科学にとって最も必要とされている。 **問題はどこにあったのか？** AIはこれまで、これらの導関数を再帰的な自動微分（recursive automatic differentiation）によって計算してきた。つまり、データがニューラルネットワークを通過するたびに、変化を何度も繰り返し計算するということだ。 複雑でノイズの多いデータでは、これが不安定になる。荒い線を何度もズームするように、各ステップで誤差が増幅される。計算コストも膨大になる。 「現代のAIは多くの場合、計算量（compute）を増やすことで前進してきました。しかし科学のいくつかの課題には、より多い計算ではなく、より良い数学が必要です」とVinayak Vinayakは述べる。 **解決策：Mollifier Layers** 解決のヒントは、1940年代に数学者Kurt Otto Friedrichsが考案した「mollifier（モリファイア）」—不規則な関数を滑らかにする道具—にあった。 PennのチームはこれをAIモデルの中に「mollifier layer」として組み込み、変化（導関数）を計算する前に入力データをまず滑らかにした。 結果として、ノイズが減り、計算コストは大幅に低下し、解は安定した。 「最初はネットワークのアーキテクチャが問題だと思っていました。ところがボトルネックは再帰的な自動微分だと気づいたのです」とAnanyae Kumar Bhartariは語る。 **DNAへの直接的な応用** 最大の応用先はクロマチン研究である。クロマチンとは、細胞核内でDNAが折りたたまれた状態のこと。サイズはわずか100ナノメートル程度だが、どの遺伝子が働くかを決定する。つまり、細胞のアイデンティティ、老化、病気のすべてに関わる。 「構造は見えていましたが、それを駆動するエピジェネティックなプロセスを信頼性高く推定することができませんでした。数学そのものを変える必要があるのは明らかでした」とShenoyは言う。 この新しいAI手法により、遺伝子の働きを制御するエピジェネティック反応速度を推定できる。老化、がん、発生の過程でこれらの速度がどう変化するかを追跡できれば、新しい治療への道が開ける。 「反応速度がクロマチンの組織化と細胞運命を制御しているのなら、その速度を変えることで細胞を望む状態へ導ける可能性があります」とVinayakは述べる。 **生物学を超えて** 応用は遺伝学にとどまらない。材料研究、流体力学、天気予報など、ノイズの多いデータと複雑な方程式が存在するあらゆる分野で、このフレームワークは機能する。 「最終目標は、複雑なパターンを観測することから、それらを生み出す規則を定量的に明らかにすることです。ある系を支配する規則を理解できれば、その系を変える可能性が手に入ります」とShenoyは語る。 --- 出典：University of Pennsylvania School of Engineering and Applied Science. Shenoy V., Vinayak V., Bhartari A.K.「Mollifier Layers for Inverse PDEs」Transactions on Machine Learning Research、2026年5月。NeurIPS 2026で発表予定。