人工智能解决数学中困难的逆偏微分方程问题——宾夕法尼亚大学的平滑化层

**AI 破解科学中棘手的数学谜题** 看着池塘里的涟漪，能推断出石子落在了哪里吗？在科学中，这就是逆问题：结果可见，原因却隐藏。 为了解决这类逆问题，宾夕法尼亚大学的研究人员开发了一种新的 AI 方法，名为：Mollifier Layers（平滑化层）。 这项研究于 2026 年 5 月 6 日发表在《Transactions on Machine Learning Research（TMLR）》上，并将于 NeurIPS 2026 进行报告。 • 负责人：Vivek Shenoy，宾大材料科学与工程系 • 团队成员：Vinayak Vinayak、Ananyae Kumar Bhartari **什么是逆 PDE？** 微分方程（differential equations）是一种描述系统如何变化的数学工具：热量扩散、人口增长、化学反应——都可以用它来刻画。 偏微分方程（partial differential equations，PDE）更进一步：它捕捉系统在空间与时间两个维度上如何变化。天气、材料科学、DNA 组织结构等领域都离不开 PDE。 逆 PDE 则把过程倒过来：不是已知规律去预测结果，而是从观测到的结果出发，反推背后隐藏的规律。这正是难点，也正是科学最需要的能力。 **问题出在哪里？** 迄今为止，AI 通常通过递归自动微分（recursive automatic differentiation）来计算这些导数——也就是数据在神经网络中传播时，反复地计算变化量。 但在复杂、含噪的数据上，这会变得不稳定。就像反复放大一条粗糙的线，每一步都会把误差进一步放大。计算成本也会飙升。 “现代 AI 往往通过增加算力来推进。但有些科学挑战需要的不是更多算力，而是更好的数学。”Vinayak Vinayak 说。 **解决方案：Mollifier Layers** 解决思路来自数学家 Kurt Otto Friedrichs 在 20 世纪 40 年代提出的 “mollifiers（平滑子）”——一种用于将不规则函数变得更平滑的工具。 宾大团队把它作为一个 “mollifier layer（平滑化层）”嵌入 AI 模型中：在计算变化量之前，先对输入数据进行平滑处理。 结果是：噪声降低，计算成本显著下降，解也更稳定。 “我们一开始以为问题在网络结构上。后来才意识到瓶颈其实是递归自动微分。”Ananyae Kumar Bhartari 说。 **在 DNA 研究中的直接应用** 该方法最重要的应用之一在染色质（chromatin）研究中。染色质是细胞核内 DNA 的折叠形态，尺度只有约 100 纳米，但它决定哪些基因会被激活——也就影响细胞身份、衰老与疾病等一切。 “我们能看到这些结构，但无法可靠地推断驱动它们的表观遗传过程。很明显，必须改变数学方法。”Shenoy 说。 借助这种新的 AI 方法，可以估计控制基因活动的表观遗传反应速率。如果能追踪这些速率在衰老、癌症或发育过程中如何变化，就可能为新疗法打开通路。 “如果反应速率控制染色质组织与细胞命运，那么通过改变这些速率，我们就能把细胞引导到期望的状态。”Vinayak 说。 **不止于生物学** 应用并不止于遗传学。材料研究、流体动力学、天气预报——凡是包含含噪数据与复杂方程的领域，这一框架都能发挥作用。 “最终目标是：从观察复杂形态，走向定量揭示产生这些形态的规律。一旦理解了支配系统的规则，你就拥有改变它的可能性。”Shenoy 说。 --- 来源：宾夕法尼亚大学工程与应用科学学院。Shenoy V., Vinayak V., Bhartari A.K.，《Mollifier Layers for Inverse PDEs》，《Transactions on Machine Learning Research》，2026 年 5 月发表。将于 NeurIPS 2026 报告。